Под руководством, наблюдением кого-то.
В Древней Греции слово «эгис» первоначально означало козью шкуру, которой обтягивали ивовые щиты, потом и самый боевой щит — прикрытие. Щит отца богов Зевса, обтянутый шкурой козы Амалфеи (см. «Рог изобилия»), тоже именовался «эгидой».
Поэтому «быть под эгидой», «действовать под эгидой» означает: пользоваться чьим-либо покровительством, защитой.
Пример:
«Квартира его представляла собой нечто вроде канцелярии, в которой, под его эгидой, работало двое писцов» (Салтыков-Щедрин).
(В древнегреческой мифологии эгида — защитный доспех Зевса, Афины).