Значение
Как должно быть.
Происхождение
Слово «образ» употреблено в этом обороте не в значении «вид, внешность, облик, наружность, представление и др.», а в значении «способ». Например, «сделать всё надлежащим образом» отвечает на вопрос «как сделать?» «Каким образом (способом)?»
Слово «надлежащий» является действительным причастием устаревшего и сейчас уже неупотребительного глагола «надлежать» и имеет значение «такой, какой следует, нужный, должный, соответствующий, подобающий».
Так что «сделать что-либо надлежащим образом» означает «сделать должным, соответствующим образом; сделать так, как нужно, как полагается в данном случае».
Примеры
«Это явление, хотя и существует более двух столетий, остается доселе надлежащим образом не исследовано». Мельников-Печерский.
«Взгляд его не может еще возвыситься до того, чтобы объяснить надлежащим образом и поступок Грозного с Шибановым…» Добролюбов Н. А., О степени участия народности в развитии русской литературы, 1858.
«Почему же мне не предполагать, что вам я обязан тем последним, приятным объяснением, о котором вас уже, вероятно, надлежащим образом известили?» Тургенев И. С., Бретёр, 1847.
«И однако не так давно я набрался-таки смелости и попробовал ответить хозяину надлежащим образом.» Кадзуо Исигуро, Остаток дня, 1989.